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解けたら東大理系上位層レベルの論理クイズ

   

東大電情の優秀な学生は1時間で解いた。
私は無能なので、最後の問題は解けなかった。
東大法学部卒で席次10番台のキャリア官僚はウォームアップ問題すら考えることもせず諦めた。
馬鹿はまず問題文の意味が理解できない。
平均的な知能の人間は題意の本質が捉えられない。
IQが120あれば問2まではいけるはず。

ゲームルール

これはあなたと、あなたの友人10人、計11人で挑戦するゲームである。
あなたの友人をA~Jさんとしよう。
A~Jさんがそれぞれ、1~10までの数字が書かれたカードの中から好きなものを(重複可)、あなたを除く全員が見ている前で選ぶ。
その後、A~Jさんは一人ずつ、Aさんから順に、自分を含めた任意の誰か一人と一つの数字を、[A-J]は[1-10]という形式で口述する。
それを聞いて、あなたが全員の数字を当てることができたら、このゲームはあなたたちの勝利だ。

勿論、これではゲームにならない。
例えばAさんが1を、Bさんが2を、…Jさんが10を選び、

A:Aは1
B:Bは2
C:Cは3
D:Dは4
E:Eは5
F:Fは6
G:Gは7
H:Hは8
I:Iは9
J:Jは10

このように証言すれば、あなたは各人が選んだ数字を確実に当てることができる。

なので、友人の一人がゲーム開始後に、あなたを裏切るものとする。
それが誰か、他の友人たちは知っているが、あなたには分からない。
裏切者は、あなたが不利になるようにカードを選び、嘘の証言をする(必ず嘘をつくとは限らない)。

先ほどの例で考えてみよう。
裏切者がBだとする。
証言は

A:Aは1
B:Bは2
C:Cは3
D:Dは4
E:Eは5
F:Fは6
G:Gは7
H:Hは8
I:Iは9
J:Jは10

となるが、Bは2以外のカードを選んだ上で、自分は2だと嘘をついているので、あなたは全員の数字を当てることができない。
そこであなたは戦略を立て、ゲーム開始前に全員に対して、だれがどのカードを選び、どのような口述をさせるのか指示しておく。
例えば、全員に1を選ぶよう指示し、裏切者が何を選んだか証言させると決めておく。
すると、あなたは以下のような証言を得る。

A:Bは5
B:Bは2
C:Bは5
D:Bは5
E:Bは5
F:Bは5
G:Bは5
H:Bは5
I:Bは5
J:Bは5

これを聞いて、Bが5でそれ以外が1と答えれば、あなたの勝ちだ。

ウォームアップ問題

やはり簡単すぎてゲームにならない。
そこでまた一つ、条件が追加される。
裏切者は、最初にカードを選ぶ代わりに、他の全員がカードを選び終わった後、任意の相手とカードを交換するか、もしくは他の人の中から二人を選んで、好きな数字に上書きできる権利を有する。
先ほどの例でBがAとカード交換をしたら、Aが5でそれ以外が1となる。
その場合はどう証言させたら当てられるか。
例えば、全員が右隣りの数字を証言するとしてみよう。

A:Bは1
B:Bは2
C:Dは1
D:Eは1
E:Fは1
F:Gは1
G:Hは1
H:Iは1
I:Jは1
J:Aは5

裏切者がBであることが分かるし、Aが5であることも分かるので、全員の数字を当てられる。
しかし、裏切者も馬鹿ではないので、あなたの指示に合わせた嘘をついてくる。

A:Bは1
B:Cは5
C:Dは1
D:Eは1
E:Fは1
F:Gは1
G:Hは1
H:Iは1
I:Jは1
J:Aは5

こうなると裏切者がB,Jのどちらか分からなくなり、勝率は100%ではなくなる。
今度は、Bが交換ではなく、上書きを選ぶとどうなるか。
Aを3、Cを4で上書きするとする。

A:Bは5
B:Cは1
C:Dは1
D:Eは1
E:Fは1
F:Gは1
G:Hは1
H:Iは1
I:Jは1
J:Aは3

裏切者の右隣りが上書きされると、その数字を確定させる術はなくなり、裏切者が誰かすらも不明で、勝率は著しく下がる。

単に右隣の数字を証言させるのではなく、もっと洗練された戦略が必要となる。
必ず勝つ為にはどういう指示を与えればいいか?

問1

ではここからが本題だ。
裏切者が2人で、交換と上書をしてくる場合(それぞれの裏切者が1回ずつ交換か上書ができる場合)、どのような戦略を取れば必ず勝つことができるだろうか。

問2

更に、裏切者を3人に増やしてみよう。
これまでと同様に、裏切者は先にカードを選択するが、交換と上書ができる権利は失うものとする。
この条件で必ず勝つにはどうすればいいだろうか。

問3

もう一人増やして、裏切者が4人になったらどうだろう(交換と上書は無し)。
これでもまだ必勝法はあるだろうか。
無ければ、最大で勝率を何%まで高められるか答えてほしい。

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