解けたら東大理系上位層レベルの論理クイズ

東大電情の優秀な学生は１時間で解いた。
私は無能なので、最後の問題は解けなかった。
東大法学部卒で席次10番台のキャリア官僚はウォームアップ問題すら考えることもせず諦めた。
馬鹿はまず問題文の意味が理解できない。
平均的な知能の人間は題意の本質が捉えられない。
IQが120あれば問2まではいけるはず。

ゲームルール

これはあなたと、あなたの友人10人、計11人で挑戦するゲームである。
あなたの友人をＡ～Ｊさんとしよう。
Ａ～Ｊさんがそれぞれ、１～１０までの数字が書かれたカードの中から好きなものを（重複可）、あなたを除く全員が見ている前で選ぶ。
その後、Ａ～Ｊさんは一人ずつ、Ａさんから順に、自分を含めた任意の誰か一人と一つの数字を、[Ａ-Ｊ]は[１-１０]という形式で口述する。
それを聞いて、あなたが全員の数字を当てることができたら、このゲームはあなたたちの勝利だ。

勿論、これではゲームにならない。
例えばＡさんが１を、Ｂさんが２を、…Ｊさんが１０を選び、

Ａ：Ａは１
Ｂ：Ｂは２
Ｃ：Ｃは３
Ｄ：Ｄは４
Ｅ：Ｅは５
Ｆ：Ｆは６
Ｇ：Ｇは７
Ｈ：Ｈは８
Ｉ：Ｉは９
Ｊ：Ｊは１０

このように証言すれば、あなたは各人が選んだ数字を確実に当てることができる。

なので、友人の一人がゲーム開始後に、あなたを裏切るものとする。
それが誰か、他の友人たちは知っているが、あなたには分からない。
裏切者は、あなたが不利になるようにカードを選び、嘘の証言をする（必ず嘘をつくとは限らない）。

先ほどの例で考えてみよう。
裏切者がＢだとする。
証言は

Ａ：Ａは１
Ｂ：Ｂは２
Ｃ：Ｃは３
Ｄ：Ｄは４
Ｅ：Ｅは５
Ｆ：Ｆは６
Ｇ：Ｇは７
Ｈ：Ｈは８
Ｉ：Ｉは９
Ｊ：Ｊは１０

となるが、Ｂは２以外のカードを選んだ上で、自分は２だと嘘をついているので、あなたは全員の数字を当てることができない。
そこであなたは戦略を立て、ゲーム開始前に全員に対して、だれがどのカードを選び、どのような口述をさせるのか指示しておく。
例えば、全員に１を選ぶよう指示し、裏切者が何を選んだか証言させると決めておく。
すると、あなたは以下のような証言を得る。

Ａ：Ｂは５
Ｂ：Ｂは２
Ｃ：Ｂは５
Ｄ：Ｂは５
Ｅ：Ｂは５
Ｆ：Ｂは５
Ｇ：Ｂは５
Ｈ：Ｂは５
Ｉ：Ｂは５
Ｊ：Ｂは５

これを聞いて、Ｂが５でそれ以外が１と答えれば、あなたの勝ちだ。

ウォームアップ問題

やはり簡単すぎてゲームにならない。
そこでまた一つ、条件が追加される。
裏切者は、最初にカードを選ぶ代わりに、他の全員がカードを選び終わった後、任意の相手とカードを交換するか、もしくは他の人の中から二人を選んで、好きな数字に上書きできる権利を有する。
先ほどの例でＢがＡとカード交換をしたら、Ａが５でそれ以外が１となる。
その場合はどう証言させたら当てられるか。
例えば、全員が右隣りの数字を証言するとしてみよう。

Ａ：Ｂは１
Ｂ：Ｂは２
Ｃ：Ｄは１
Ｄ：Ｅは１
Ｅ：Ｆは１
Ｆ：Ｇは１
Ｇ：Ｈは１
Ｈ：Ｉは１
Ｉ：Ｊは１
Ｊ：Ａは５

裏切者がＢであることが分かるし、Ａが５であることも分かるので、全員の数字を当てられる。
しかし、裏切者も馬鹿ではないので、あなたの指示に合わせた嘘をついてくる。

Ａ：Ｂは１
Ｂ：Ｃは５
Ｃ：Ｄは１
Ｄ：Ｅは１
Ｅ：Ｆは１
Ｆ：Ｇは１
Ｇ：Ｈは１
Ｈ：Ｉは１
Ｉ：Ｊは１
Ｊ：Ａは５

こうなると裏切者がＢ，Ｊのどちらか分からなくなり、勝率は100％ではなくなる。
今度は、Ｂが交換ではなく、上書きを選ぶとどうなるか。
Ａを３、Ｃを４で上書きするとする。

Ａ：Ｂは５
Ｂ：Ｃは１
Ｃ：Ｄは１
Ｄ：Ｅは１
Ｅ：Ｆは１
Ｆ：Ｇは１
Ｇ：Ｈは１
Ｈ：Ｉは１
Ｉ：Ｊは１
Ｊ：Ａは３

裏切者の右隣りが上書きされると、その数字を確定させる術はなくなり、裏切者が誰かすらも不明で、勝率は著しく下がる。

単に右隣の数字を証言させるのではなく、もっと洗練された戦略が必要となる。
必ず勝つ為にはどういう指示を与えればいいか？

問１

ではここからが本題だ。
裏切者が２人で、交換と上書をしてくる場合（それぞれの裏切者が１回ずつ交換か上書ができる場合）、どのような戦略を取れば必ず勝つことができるだろうか。

問２

更に、裏切者を３人に増やしてみよう。
これまでと同様に、裏切者は先にカードを選択するが、交換と上書ができる権利は失うものとする。
この条件で必ず勝つにはどうすればいいだろうか。

問３

もう一人増やして、裏切者が４人になったらどうだろう（交換と上書は無し）。
これでもまだ必勝法はあるだろうか。
無ければ、最大で勝率を何％まで高められるか答えてほしい。

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